微积分和统计自学指引

February 23, 2017

大家今天上完 Paolo 的 QM 感觉酸爽吗?

我在看完这门课给出的课件后倒吸一口凉气,把大学半学期的微分课程压缩到4小时讲完,lecture 上 Paolo 给出的 module outline 也不知道大家有没有什么概念,单变量和多变量微分、优化、概率论、统计齐了,虽然没有线性代数和积分,但在我看来这样的安排已经够恐怖。

如果你学过高中导数和概率,那么微分 Lecture 1 和大部分概率论应该没什么特别大的问题(只要你没忘),提前浏览课件,自己证明一下,然后把不会的标注出来或者自己 Google。

当然,不管你高中的基础如何,第一周 lecture 后应该还是要跪,这门课太紧凑了,5分钟给完证明然后接下来5分钟就讲推论,证明的解释有多反人类我就不说了,证明过程也不给多少时间思考,证明完也不练习,安排太不合理了,大家期末写 feedback 的时候提一下吧。

鄙人因为酷爱写代码在大二上学期的时候自学了微积分(上完第一节课已经默默开始自学统计学了),就不识好歹地在这里写个自学指引(优化我还没接触,就不放了),让我们一起开开心心地被数学和 Paolo 虐。

微积分

最好的学习方式是公开课,我不太建议看书,因为公开课是用动画、板书配合讲师讲解,理解效率会比较高。教科书给出的证明更适合已经入门的人,也更加严谨,我一般想不起来证明的时候才会翻书。

单变量和多变量微积分

MIT: 18.01.1x Calculus 1A: Differentiation

这门课只有4单元,一个单元接近2小时,讲得太好了,基于直觉,引人入胜。把微分讲得透透的,每一步都有严谨有趣的证明,甚至包括 e^x 的导数为什么是它本身,还讲了多变量微分中的 implicit differentiation 和一点点微分方程。

泰勒展开

泰勒展开可以把任意函数用多项式表示,比如三角函数 sin(x) 的展开就是这样:

数学家之所以发明了这个方法,是因为研究多项式能大大简化工作。

单变量微积分:第一部分

这门课虽然也是微积分导论课,但直接从泰勒展开切入,视角独特,但不是很出于直觉,整个推导都是基于欧拉公式。

MIT: 18.01.3x Calculus 1C: Coordinate systems and infinite series

是 MIT 单变量微积分第三部分的课,我没上过就不评论了。

如果你需要一本教科书

知乎上有蛮多推荐的,大家还是找最适合自己的,比如你觉得北大的数学分析简洁干净习题难那我也觉得蛮好的。

普林斯顿微积分读本

好书,哪怕你没有三角函数的基础(或者基础忘光了),你也可以入门,里面包含了泰勒级数的内容,如果你觉得实在没时间看公开课的话,用这本学也不是不可以。

Calculus by Ron Larson, Bruce H. Edwards

知乎 上被赞誉为「被多数学生评为最适合自学的微积分教材」,我的感觉是图片还是蛮多的字体舒服阅读体验好,不过大部分英文原版教材都不错啦,大家去图书馆随便借本也够用的。

统计

编程相关

如果你有编程基础或者学习一点点编程(R 语言编程非常简单我保证),UTAustinX: UT.7.11x Foundations of Data Analysis - Part 1UTAustinX: UT.7.11x Foundations of Data Analysis - Part 2 是评价最好的,20小时的内容包含了统计和 R 语言入门,Lab 体验超棒。

如果你更喜欢用 Python,那么还有 MIT: Computational Probability and Inference

无编程背景

斯坦福公开课 Probability and Statistics,课程内容不错,体验也不错,如果不想编程的话可以试试。

NotreDameX: SOC120x I Heart Stats: Learning to Love Statistics,看名字似乎比较适合入门,但没有概率论的内容。

如果你想更深入的学习概率论的话,试试 MIT 的 Introduction to Probability - The Science of Uncertainty有博文评价此门课程「It is a masterpiece with a weighted average rating of 4.91 out of 5 stars over 34 reviews. Be warned: it is a challenge and much longer than most MOOCs」。

最后警告

如果你是高中理科基础,那么自学 QM 至少得花60小时以上,先花一周搞定较简单的微积分,然后再按照 QM 课程安排规律地学习泰勒级数、概率和统计。